这∑n!e^n/n^(n+p)级数在什么条件下收敛?

Question

这∑n!e^n/n^(n+p)级数在什么条件下收敛?

Answer 1

an/a(n+1)=n!e^n/n^(n+p)*(n+1)^(n+1+p)/[(n+1)!e^(n+1)]
＝(1+1/n)^(n+p)/e＝e^(nln(1+1/n)－1)(1+1/n)^p
＝e^(－1/(2n)+小o(1/n))(1+p/n+小o(1/n))
＝(1－1/(2n)+小o(1/n))(1+p/n+小o(1/n))
＝1+(p－1/2)/n+大O(1/n^2),
由Raabe判别法知道p－1/2>1时,级数收敛,
p－1/2<1时,级数发散；当p－1/2＝1时,
由Gauss判别法知道级数发散.
综上,p>3/2时级数收敛,p<=3/2时级数发散.