用LimitComparisonTest判断级数的收敛和发散∑（n从1到正无穷）（5n+2)/(3n^3+2N^2+n+1)

Question

用Limit Comparison Test判断级数的收敛和发散
∑（n从1到正无穷）（5n+2)/(3n^3+2N^2+n+1)

Answer 1

是这样的,找一个合适的candidate
怎么找呢,一般是让n趋于无穷,然后看leading order
n->无穷
5n+2~5n,因为n很大,2相比之下非常的小
3n^3+2N^2+n+1~3n^3, 同样的道理
所以我们的candidate出现了就是
bn=5n/3n^3=5/(3n^2)
an=(5n+2)/(3n^3+2N^2+n+1)
因为无法直接判断an,bn的大小关系,所以一般的Comparison Test不适用
所以利用Limit Comparison Test
lim n->无穷 an/bn
=[(5n+2)/(3n^3+2N^2+n+1)]*[3n^2/5]
=(15n^3+6n^2)/5(3n^3+2N^2+n+1)
上下同除n^3
=(15+6/n)/5(3+2/n+1/n^2+1/n^3)
当n趋向无穷时,1/n,1/n^2,1/n^3->0
所以
lim n->无穷 an/bn=(15+0)/3*(5+0+0+0)=1>0
由Limit Comparison Test
只要极限是一个大于0,有限的常数,则Σan和Σbn同时发散或者同时收敛
对于Σbn=(5/3)Σ1/n^2
由p-test, p=2>1,所以Σbn收敛
所以原级数∑（n从1到正无穷）（5n+2)/(3n^3+2N^2+n+1)收敛