如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF=5，∠B的正切值为12（1）求证：△BDF∽△DCF；（2）求BC的长．

Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF=5，∠B的正切值为(1)/(2)

（1）求证：△BDF∽△DCF；
（2）求BC的长．

Answer 1

（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵E是AC的中点，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠ACB=90°，∠BDC=90°
∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠ECD=∠B，
∴∠B=∠FDC，
又∵∠F=∠F，
∴△BDF∽△DCF；
（2）设DE=x，则AC=2DE=2x，DF=DE+EF=x+5．
∵△BDF∽△DCF，
∴(DF)/(BF)=(CF)/(DF)=(DC)/(BD)=tan∠B=(1)/(2)，
∴BF=2DF=2（x+5），CF=(1)/(2)DF=(1)/(2)（x+5），
∴BC=BF-CF=(3)/(2)（x+5），
在直角△ABC中，∵tan∠B=(AC)/(BC)=(1)/(2)，
∴BC=2AC，即(3)/(2)（x+5）=2×2x，
解得x=3
∴BC=(3)/(2)（3+5）=12．