如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC的中点，AD、BE相交于P，若∠BPD=∠C，求证：以△ABC三条中线为边构成的三角形与△ABC相似．

Question

如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC的中点，AD、BE相交于P，若∠BPD=∠C，求证：以△ABC三条中线为边构成的三角形与△ABC相似．

Answer 1

证明：延长PD至F，使PD=DF，连接BF，FC，PC，DE，

则四边形BFCP为平行四边形，
∵∠BPD=∠C，∴△BPD∽△BCE，
∴(BP)/(BC)=(BD)/(BE)，
∴△BPC∽△BDE，
∴∠PCB=∠DEB，∠1=∠2，
∴∠PCF=∠ABC，
而∠PFC=∠BPD=∠ACB，
∴△PCF∽△ABC，
而△PCF各边长为△ABC中线长的(2)/(3)，
故△PCF与以△ABC三条中线为边所构成的三角形相似．