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设p是大于2的质数,k为正整数.若函数y=x2+px+(k+1)p-4的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k的值.
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设p是大于2的质数,k为正整数.若函数y=x2+px+(k+1)p-4的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k的值.
▼优质解答
答案和解析
由题意知,方程x2+px+(k+1)p-4=0的两根x1,x2中至少有一个为整数.
由根与系数的关系可得x1+x2=-p,x1x2=(k+1)p-4,从而有(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=(k-1)p①
(1)若k=1,则方程为x2+px+2(p-2)=0,它有两个整数根-2和2-p.
(2)若k>1,则k-1>0.
∵x1+x2=-p为整数,如果x1,x2中至少有一个为整数,则x1,x2都是整数.
又∵p为质数,由①式知p|x1+2或p|x2+2.
不妨设p|x1+2,则可设x1+2=mp(其中m为非零整数),则由①式可得x2+2=
,
∴(x1+2)+(x2+2)=mp+
,即x1+x2+4=mp+
.
又∵x1+x2=-p,
∴−p+4=mp+
,即(m+1)p+
=4②
如果m为正整数,则(m+1)p≥(1+1)×3=6,
>0,从而(m+1)p+
>6,与②式矛盾.
如果m为负整数,则(m+1)p<0,
<0,从而(m+1)p+
<0,与②式矛盾.
∴k>1时,方程x2+px+(k+1)p-4=0不可能有整数根.
综上所述,k=1.
由根与系数的关系可得x1+x2=-p,x1x2=(k+1)p-4,从而有(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=(k-1)p①
(1)若k=1,则方程为x2+px+2(p-2)=0,它有两个整数根-2和2-p.
(2)若k>1,则k-1>0.
∵x1+x2=-p为整数,如果x1,x2中至少有一个为整数,则x1,x2都是整数.
又∵p为质数,由①式知p|x1+2或p|x2+2.
不妨设p|x1+2,则可设x1+2=mp(其中m为非零整数),则由①式可得x2+2=
k−1 |
m |
∴(x1+2)+(x2+2)=mp+
k−1 |
m |
k−1 |
m |
又∵x1+x2=-p,
∴−p+4=mp+
k−1 |
m |
k−1 |
m |
如果m为正整数,则(m+1)p≥(1+1)×3=6,
k−1 |
m |
k−1 |
m |
如果m为负整数,则(m+1)p<0,
k−1 |
m |
k−1 |
m |
∴k>1时,方程x2+px+(k+1)p-4=0不可能有整数根.
综上所述,k=1.
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