设p是大于2的质数，k为正整数．若函数y=x2+px+（k+1）p-4的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．

Question

设p是大于2的质数，k为正整数．若函数y=x²+px+（k+1）p-4的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．

Answer 1

由题意知，方程x²+px+（k+1）p-4=0的两根x₁，x₂中至少有一个为整数．
由根与系数的关系可得x₁+x₂=-p，x₁x₂=（k+1）p-4，从而有（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=（k-1）p①
（1）若k=1，则方程为x²+px+2（p-2）=0，它有两个整数根-2和2-p．
（2）若k＞1，则k-1＞0．
∵x₁+x₂=-p为整数，如果x₁，x₂中至少有一个为整数，则x₁，x₂都是整数．
又∵p为质数，由①式知p|x₁+2或p|x₂+2．
不妨设p|x₁+2，则可设x₁+2=mp（其中m为非零整数），则由①式可得x2+2＝(k−1)/(m)，
∴(x1+2)+(x2+2)＝mp+(k−1)/(m)，即x1+x2+4＝mp+(k−1)/(m)．
又∵x₁+x₂=-p，
∴−p+4＝mp+(k−1)/(m)，即(m+1)p+(k−1)/(m)＝4②
如果m为正整数，则（m+1）p≥（1+1）×3=6，(k−1)/(m)＞0，从而(m+1)p+(k−1)/(m)＞6，与②式矛盾．
如果m为负整数，则（m+1）p＜0，(k−1)/(m)＜0，从而(m+1)p+(k−1)/(m)＜0，与②式矛盾．
∴k＞1时，方程x²+px+（k+1）p-4=0不可能有整数根．
综上所述，k=1．