令n是满足以下条件的最小正整数：n能被20整除,n平方是一个完全立方数，n立方是一个完全平方数，n是多少？

Question

令n是满足以下条件的最小正整数：n能被20整除,n平方是一个完全立方数，n立方是一个完全平方数，
n是多少？

Answer 1

先说一下，^表示指数，例如a^b表示a的b次方。
n能被20整除，而20=2^2×5，
那么n一定含有2和5作为质因数。
要使得n最小，那么n只含有2和5作为质因数，且指数尽量小。
设n=2^p×5^q
因为n^2是完全立方数，
也就是说n^2=2^2p×5^2p是完全立方数，
那么2p、2q都是3的倍数，而2与3互质，那么要求p、q都是3的倍数；
同理，
因为n^3是完全平方数，
也就是说n^3=2^3p×5^3p是完全平方数，
那么3p、3q都是2的倍数，而2与3互质，那么要求p、q都是2的倍数；
因而，p、q一定是6的倍数。
从而可以取p=q=6
于是，n的最小值为
n=2^6×5^6=(2×5)^6=10^6=1000000
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