分母是385的最简真分数有多少个，并求这些真分数的和．

Question

分母是385的最简真分数有多少个，并求这些真分数的和．

Answer 1

因为385=5×7×11，在1～385这385个自然数中，
5的倍数有[(385)/(5)]＝77（个），7的倍数有[(385)/(7)]＝55（个），11的倍数有[(385)/(11)]＝35（个），5×7=35的倍数有[(385)/(35)]＝11（个），5×11=55的倍数有[(385)/(55)]＝7（个），7×11=77的倍数有[(385)/(77)]=5（个），385的倍数有1个．
由容斥原理知，在1～385中能被5、7或11整除的数有77+55+35-（11+7+5）+1=145（个），而5、7、11互质的数有385-145=240（个）．即分母为385的真分数有240（个）．
如果有一个真分数为(a)/(385)，则必还有另一个真分数(385−a)/(385)，即以385为分母的最简真分数是成对出现的，而每一对之和恰为1．故以385为分母的240最简分数可以分成120时，它们的和为1×120=120．