存在在无理数点上不连续,在有理数点上连续的实函数吗请说明理由

题目详情

存在在无理数点上不连续,在有理数点上连续的实函数吗
请说明理由

▼优质解答

答案和解析

这是个经典问题,结论是不可能.我正好想过这个问题,所以积累了一些资料:-)和LZ分享一下~
如果学过实变函数的话,理解起来会简单一些.给LZ一本参考书：周民强《实变函数论》,北京大学出版社.此书第一章1.5节中“Borel集”一节的例11和例13合起来可以证明此结论.前者说开集上函数的连续点集为Gδ型集,后者说有理数集不是Gδ型集(其实可数集都不是Gδ型集),二者结合即可.另外,用Baire纲定理也可以证.
初等一些的方法也有(当然实数连续性是必然要用的),不过过程较长.比如可以用Baire纲定理证明的思想来证此题.给LZ贴个参考资料吧~其中的例2就是LZ的这个问题,那里给了比较初等的证明(第3页到第4页).

看了存在在无理数点上不连续,在有...的网友还看了以下：

数轴上某点关于某点对称,是用大的数减去小的数来求吗?数轴上三点ABC,点C的对称点点A关于点B对称　2020-05-02 …

高数偏导数问题在做求混合偏导是计算题时,当求出偏x偏y在该区域连续可以直接说偏x偏y等于偏y偏x吗　2020-05-13 …

在多元函数中一阶偏导数连续则二阶偏导数也连续吗?高数书上有定理:混合偏导数在它们定义域内连续则相等　2020-05-13 …

传说中的抛物线真的是抛出来的那条线吗?数学上的抛物线是对称的,但我自己扔石头玩的时候觉得那石头抛出　2020-06-16 …

左右导数均存在但不等时,函数连续吗?全书上的一个分析函数是分段函数,讨论在分段点x=0处的可导性因　2020-07-27 …

存在在无理数点上不连续,在有理数点上连续的实函数吗请说明理由　2020-07-31 …

高数连续函数f(x)=常数,f(x)是连续函数吗,连续函数一定是圆滑的曲线吗? 　2020-08-02 …

上下限均为已知函数的变限积分F（x）,如果被积函数f（x）连续的话,F（x）就连续吗?跟上下限是函　2020-08-02 …

数学理论会有矛盾的地方吗?数学上的定义、公理、以及由定义和公理推导出来的纷繁的定理,随着学习的深入会　2020-11-21 …

两个向量平行,它们一定是平行向量吗数学上的向量讲的是自由向量即使是重合的向量也可以看作是平行的这一点　2021-02-05 …

相关搜索：存在在无理数点上不连续在有理数点上连续的实函数吗请说明理由