如何证明√7+√11+√5是无理数

Question

如何证明√7+√11+√5是无理数

Answer 1

证明：设 x= √7+√11+√5,
(1) 假设 x 是有理数,
则 x -√5 =√7 +√11.
两边平方,得
x^2 -2√5 x +5 = 18 +2√77.
即 2√5 x = x^2 -13 -2√77.
(2) 令 y= x^2 -13,
由假设知,y是有理数.
又因为 x >2+3+2 =7,
所以 y >0.
则 2√5 x = y -2√77.
两边平方,得
20 x^2 = y^2 -2y √77 +308.
即 √77 = (y^2 +308 -20 x^2) /2y.
由假设,
(y^2 +308 -20 x^2) /2y 是有理数,
与 √77 是无理数矛盾.
所以假设不成立.
所以 √7+√11+√5 是无理数.
= = = = = = = = =
以上计算可能有误,你最好检查一下.
用到一个结论：
若整数n是 非完全平方数 ,则√n 是无理数.
三个根号太麻烦,两个根号容易一点.
因此,主要方法是：
三个根号,移项,平方,变成两个根号.
再移项,平方,变成一个根号.
多个根号也是这样.