指数一定是整数吗?指数,就是N的几次方,数字N右上方的那个小数字.它除了可以是正整数,负整数之外,有没有是正分数或负分数的可能呢?急用急用.

Question

指数一定是整数吗?
指数,就是N的几次方,数字N右上方的那个小数字.它除了可以是正整数,负整数之外,有没有是正分数或负分数的可能呢?急用急用.

Answer 1

不一定
1.有关分数指数幂
如何理解分数指数幂呢?
我们不妨设,凭感觉没有经过严格的证明,只是把整数指数幂运算“推广”到分数,是不科学的,但可以借此理解分数指数幂的定义.）
我们所求的x是这样一个数,它的n次方等于,由此感觉到x为的n次方根,故学习时先提出了根式的概念：一般地,如果那么x叫做a的n次方根,式子叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数.
回到原来的讨论,则是的n次方根,即.类似地,我们可以定义负分数指数幂.
到目前为止,我们共学习了下面一些幂,其中正整数指数幂是根本,并由此拓展到零指数幂和负整数指数幂,于是我们得到了整数指数幂.分数指数是在正整数指数的概念推广到整数指数后指数概念的又一推广,推广后指数的取值范围为有理数,它是根式的一种新的表示法.
正整数指数幂
零指数幂
负整数指数幂
正分数指数幂
负分数指数幂
2.有关幂的运算性质
这也是由整数指数幂的运算性质推广而来的.
根据分数指数幂和根式的关系,根式的运算可以与分数指数幂的运算相互转化.对于运算结果,不统一要求用什么形式来表示.没有特殊要求时,可以用分数指数幂的形式表示,如果有特殊要求,可以根据要求写出结果,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又有负指数,同时注意根式要化简为最简并合并同类根式.
3.有关指数函数
函数叫做指数函数,其中x是自变量,.
为什么要在定义中规定呢?原因是在中,若,则,这是一个常数函数,并不是指数函数.为了保证x取分数时都有意义,必须要求；但是时,只对有意义,且是定义在上的常数函数,因此,定义指数函数时,要规定.
对于指数函数的定义,按课本上的说法它是一种形式定义,即解析式的特点必须是的样子,不能有一点差异.对底数a的限制条件的理解与认识也是认识指数函数的重要内容,可以通过具体的例子来理解对底数、指数都有什么限制要求.因为对这个条件的认识不仅关系到对指数函数的认识及性质的分类讨论,还关系到后面学习对数函数中对底数的认识,所以一定要真正了解它的由来.