设C为任一条光滑简单闭曲线，它不通过原点，也不围住原点，且指定一个方向为正方向．则∮cxdy−ydxx2+4y2（）A．4πB．0C．2πD．π

Question

设C为任一条光滑简单闭曲线，它不通过原点，也不围住原点，且指定一个方向为正方向．则

∮

c

(xdy−ydx)/(x2+4y2)（　　）

A．4π
B．0
C．2π
D．π

Answer 1

由题设，知曲线积分的P＝(−y)/(x2+4y2)，Q＝(x)/(x2+4y2)，且它们在C所围成的区域里具有一阶连续偏导数
容易求得：(∂Q)/(∂x)＝(1)/(x2+4y2)−(2x2)/((x2+4y2)2)，(∂P)/(∂y)＝−(1)/(x2+4y2)+(8y2)/((x2+4y2)2)
∴(∂Q)/(∂x)−(∂P)/(∂y)＝0
∴由格林公式，设C所围成的平面区域为D，得

∮

c

(xdy−ydx)/(x2+4y2)=

∫∫

D

((∂Q)/(∂x)−(∂P)/(∂y))dxdy＝0
故选：B