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如图,已知O(0,0)、A(4,0)、B(4,3).动点P从O点出发,以每秒3个单位的速度,沿△OAB的边0A、AB、B0作匀速运动;动直线l从AB位置出发,以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动.

题目详情
如图,已知O(0,0)、A(4,0)、B(4,3).动点P从O点出发,以每秒3个单位的速度,沿△OAB的边0A、AB、B0作匀速运动;动直线l从AB位置出发,以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动.若它们同时出发,运动的时间为t秒,当点P运动到O时,它们都停止运动.
(1)当P在线段OA上运动时,求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围;
(2)当P在线段AB上运动时,设直线l分到与OA、OB交于C、D,试问:四边形CPBD是否可能为菱形?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变直线l的出发时间,使得四边形CPBD会是菱形.
▼优质解答
答案和解析
(1)当点 P 在线段 OA 上时, P (3 t ,0),      …………………………………1分
P x 轴的两交点坐标分别为(3 t -1,0)、(3 t +1,0),直线 l x =4- t
若直线 l 与⊙ P 相交,则.          ………………………………………3分
解得< t <.                                ………………………………………5分
(2)点 P 与直线 l 运动 t 秒时, AP =3 t -4, AC t ,若要四边形 CPBD 为菱形,则
CP OB
∴∠ PCA =∠ BOA ,∴Rt△ APC ∽△ ABO ,∴=,∴=,解得 t =………6分
此时, AP =, AC =,∴ PC =,而 PB =7-3 t =≠ PC ,故四边形 CPBD 不可能是菱形                                      …………………………………………7分
(上述方法不唯一,只要推出矛盾即可)
现改变直线 l 的出发时间,高直线 l 比点 P 晚出发 a 秒,
若四边形 CBPD 为菱形,则 CP OB
∴Rt△ APC ∽△ ABO ,∴==,∴==,
即,解得
只要直线 l 比点 P 晚出发秒,则当点 P 运动秒时,四边形 CPBD 就是菱形……………10分