（2011•庐阳区模拟）如图所示，建立xOy坐标系．在第二、第三象限有电场强度为E的匀强电场，方向沿y轴负方向，电场区域宽度为mv02/qE；在第一、四象限有磁感应强度为B的匀强磁场，方向

Question

（2011•庐阳区模拟）如图所示，建立xOy坐标系．在第二、第三象限有电场强度为E的匀强电场，方向沿y轴负方向，电场区域宽度为mv₀²/qE；在第一、四象限有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，图中右侧虚线为磁场区域的右边界．现有一质量为m，电荷量为-q的带电粒子从电场中坐标位置（-mv₀²/qE，0）处，以初速度v₀沿x轴正方向开始运动，（重力不计），试求：
（1）使带电粒子不能穿越磁场区域，磁场区域的宽度d应满足条件；
（2）带电粒子最终离开电场时的坐标及动能．

Answer 1

（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，设运动的加速度为a，
由牛顿运动定律得：qE=ma
设粒子出电场、入磁场的速度大小为v，
此时在y轴方向的分速度为v_y，
粒子在电场中运动的时间为t，则x轴方向上有：(mv02)/(qE)＝v0t
y轴方向上有：qE=ma，v_y=at
解得v_y=v₀，所以v＝√(v02+vy2)＝√(2)v0
设v的方向与y轴方向的夹角为θ，则有θ=45°．
粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做圆周运动，如图．
由牛顿第二定律得：qvB＝(mv2)/(R)，可得：R=(mv)/(qB)
由图中几何关系可知，要使粒子不穿越磁场区域．
磁场的宽度应满足的条件：d≥R（1+cosθ）
结合已知条件解以上各式得：d≥((1+√(2))mv0)/(qB)．
（2）第一次回到电场中，粒子在y方向上的位移为：
y1＝(1)/(2)at2＝(mv02)/(2qE)
再一次回到电场中，粒子在y方向上的位移为：
y2＝vyt+(1)/(2)at2＝(3mv02)/(2qE)
y=y₁-2Rcosθ+y₂，即y＝(2mv02)/(qE)−(2mv0)/(qB)．
坐标为（(−mv02)/(qE)，(2mv02)/(qE)−(2mv0)/(qB)）
再一次回到电场中，粒子在电场力作用下运动，根据动能定理得：
qE(y1+y2)＝EK−(1)/(2)mv02
即得EK＝(5)/(2)mv02
答：（1）使带电粒子不能穿越磁场区域，磁场区域的宽度d应满足条件为：d≥((1+√(2))mv0)/(qB)．
（2）带电粒子最终离开电场时的坐标为（(−mv02)/(qE)，(2mv02)/(qE)−(2mv0)/(qB)），动能为EK＝(5)/(2)mv02．