（1）将1.2...2004这2004个数随意排成一行,得到一个数N,求证：N一定是合数；（2）若n是大于2的正整数,求证.2^n-1与2^n-1中至多有一个是质数；（3）求360的所有正约数的倒数和

Question

（1）将1.2...2004这2004个数随意排成一行,得到一个数N,求证：N一定是合数；
（2）若n是大于2的正整数,求证.2^n-1与2^n-1中至多有一个是质数；（3）求360的所有正约数的倒数和

Answer 1

(1)2004能被3整除,将2004个数按（1,2,3）（4,5,6）.（2002,2003,2004）这样分成668组,任意三个相邻的自然数中各个数字的和必然能被3整除.
这个可以使用n,n+1,n+2来证明
所以2004个数随意排成一行,其各位数字之和能被3整除
故N为合数
（2）2^n-1,2^n,2^n+1是相邻的三个自然数,其中必然有一个能被3整除,其中2^n不可能被3整除,那么2^n-1与2^n+1中必然有一个能被3整除.
因为n>2,则2^n-1与2^n+1不可能是3,且其中一个能被3整除,故这个为合数
所以2^n-1与2^n+1中最多有一个质数
（3）
设正整数a的所有正约数之和为b,d1、d2、d3、d4…dn为a的所有正约数从小到大的排列,于是d1、=1,d2、d3、d4…dn为a的所有正约数从小到大的排列,于是d1=1,dn=a,
由于S=1/ d1 +1 /d2 +1 /d3 +…+1 /dn 中各分数分母的最小公倍数为dn=a,
故S=dn/ dn +dn-1/ dn +dn-2/ dn +…+d1/ dn =d1+d2+d3+…dn /dn =b/ a ,
而a=360=2^3×3^2×5,
故b=（1+2+2^2×2^3）×（1+3+3^2）×（1+5）=1170,
所以360的所有正约数的倒数和为：1170/ 360 =3.25
故答案为：3.25．