请问向量外积的分配律的证明方法

Question

请问向量外积的分配律的证明方法

Answer 1

三维向量外积（即矢积、叉积）可以用几何方法证明；也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。 下面把向量外积定义为： a×b=|a|·|b|·Sin. 分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。 下面给出代数方法。我们假定已经知道了： 1）外积的反对称性： a×b=-b×a. 这由外积的定义是显然的。 2）内积（即数积、点积）的分配律： a·(b+c)=a·b+a·c, (a+b)·c=a·c+b·c. 这由内积的定义a·b=|a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。 3）混合积的性质： 定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明： i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。 从而就推出： ii)(a×b)·c=a·(b×c) 所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c). 由i)还可以推出： iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b) 我们还有下面的一条显然的结论： iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。 下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。 设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有 r·(a×(b+c)) =(r×a)·(b+c) =(r×a)·b+(r×a)·c =r·(a×b)+r·(a×c) =r·(a×b+a×c) 移项，再利用数积分配律，得 r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0 这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即 a×(b+c)-(a×b+a×c)=0 所以有 a×(b+c)=a×b+a×c. 证毕。