设m为一个小于2006的四位数，已知存在正整数n，使得m-n为质数，且mn是一个完全平方数，求满足条件的四位数m．

Question

设m为一个小于2006的四位数，已知存在正整数n，使得m-n为质数，且mn是一个完全平方数，求满足条件的四位数m．

Answer 1

首先m-n是m和n的最大公约数的倍数（这句话应该不用解释，不理解的话就设m=ad，n=bd，d为m和n的最大公约数），那么他们的最大公约数只能是1或者一个质数（设为p）
若最大公约数（m，n）=1 而mn为平方数 则m，n各自为平方数，
设m=a²，n=b²，m为小于2006的4位数所以31p=a²-b²=（a-b）（a+b），p为质数，
所以a-b=1，a+b是质数，
也就是2a-1为质数，31所以61<2a-1<89，这样的a共有34，36，37，40，42．
这是分别可以求得对应的m值为1156，1296，1369，1600，1764共计五中可能．
若（m，n）=p 则设m'=(m)/(p)，n'=(n)/(p)，
则m'-n'=1，mn=p²m'n'也是完全平方数，所以m'n'也是完全平方数，n'²≤n'（ n'+1）=n'=m'n'<（ n'+1）²，左边的等号只能在n=0是取得，n不能等于0，所以m'n'不会是完全平方数．矛盾，所以（m，n）=p不成立．
综上m可以是1156，1296，1369，1600，1764．