1.若正整数a,b,有（ab+1)能够被（a^2+b^2)整除,试证明：（a^2+b^2)除以（ab+1）是完全平方数.

Question

1.若正整数a,b,有（ab+1)能够被（a^2+b^2)整除,试证明：（a^2+b^2)除以（ab+1）是完全平方数.

Answer 1

若(a^2+b^2)/(1+ab)为整数,则它是平方数
证明 反证法,假设(a^2+b^2)/(1+ab)=k为整数,但k不是平方数,由(a^2+b^2)/(1+ab)=k得a^2+b^2-kab-k＝0,设(a,b)是使上式成立的所有整数对中使a+b最小的,不妨设a≥b,对确定的b,k,考虑2次方程a^2+b^2-kab-k＝0,a是它的一个解,x是它的另一个解,由a+x=kb,ax=b^2-k可知, x也是整数,由k不是平方数得x不等于零,如果xb^2>0,这是不可能的,故x>0,于是(x,b)也是使a^2+b^2-kab-k＝0式成立的整数对,由a+b最小性得a+b≤x+b,x≥a, b^2-k≥a^2,这与a≥b矛盾.证毕.