若x，y为正整数，使得x2+y2-x能被2xy整除，证明：x为完全平方数．

Question

若x，y为正整数，使得x²+y²-x能被2xy整除，证明：x为完全平方数．

Answer 1

证明：∵x²+y²-x能被2xy整除，则有x²+y²-x=2kxy（k为整数）整理成关于y的二次方程：y²-2kxy+（x²-x）=0（1）
由题设，此方程有一根y₁为整数，由韦达定理，另一根为y₂满足y₂=2kx-y₁
故y₂也是整数，因而方程（1）有两个整数根，于是其判别式
△=4[k²x²-（x²-x）]=4x[（k²-1）x+1]应为完全平方数．
由于x和（k²-1）x+1互质，
故必为完全平方数．