如何证明重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.

Question

如何证明重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.

Answer 1

设三角形顶点坐标A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)
平面上任意点P(x,y).则P于三顶点距离平方和为
S＝(x-x0)^2+(y-y0)^2+(x-x1)^2+(y-y1)^2+(x-x2)^2+(y-y2)^2
=[(x-x0)^2+(x-x1)^2+(x-x2)^2]
+[(y-y0)^2+(y-y1)^2+(y-y2)^2]
=[3*x^2-2(x0+x1+x2)*x+x0^2+x1^2+x2^2]
+[3*y^2-2(y0+y1+y2)*y+y0^2+y1^2+y2^2]
注意到中括号中的内容为平方和恒大于0
因此当两个中括号中的内容都取得最小值时,S才能取得最小值.
3*x^2-2(x0+x1+x2)*x+x0^2+x1^2+x2^2是以x为自变量的抛物线,二次项系数大于0,开口向上,根据抛物线的性质,当
x=-b/(2a)
=2(x0+x1+x2)/(2*3)
=(x0+x1+x2)/3
时,3*x^2-2(x0+x1+x2)*x+x0^2+x1^2+x2^2取得最小值.
同理
y=(y0+y1+y2)/3时,3*y^2-2(y0+y1+y2)*y+y0^2+y1^2+y2^2取得最小值.
而我们可以通过重心的定义得出,上面的P点就是三角形的重心.
证毕