（2014•闵行区二模）如图，在体积为3的正三棱锥A-BCD中，BD长为23，E为棱BC的中点，求：（1）异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）正三棱锥A-BCD的表面积．

Question

（2014•闵行区二模）如图，在体积为√(3)的正三棱锥A-BCD中，BD长为2√(3)，E为棱BC的中点，求：
（1）异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）正三棱锥A-BCD的表面积．

Answer 1

（1）过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为△BCD的中心，
由(1)/(3)•(√(3))/(4)•22•3•AO=√(3)得AO=1．
又在正三角形BCD中得OE=1，所以AE=√(2)
取BD中点F，连结AF、EF，故EF∥CD，
所以AEF就是异面直线AE与CD所成的角．
在△AEF中，AE=AF=√(2)，EF=√(3)，
所以cos∠AEF=(2+3-2)/(2•√(2)•√(3))=(√(6))/(4)．
所以，异面直线AE与CD所成的角的大小为arccos(√(6))/(4)．
（2）由AE=

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问题解析

（1）过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为△BCD的中心，取BD中点F，连结AF、EF，故EF∥CD，所以AEF就是异面直线AE与CD所成的角．
（2）由AE=√(2)可得正三棱锥A-BCD的侧面积，从而可求正三棱锥A-BCD的表面积．

名师点评

本题考点：

异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：

本题考查异面直线及其所成的角，考查正三棱锥A-BCD的表面积，考查学生的计算能力，属于中档题．

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