等边三角形三边平方和等于每两边乘积之和证明：三角形ABC是等边三角形的充要条件是a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc这里a,b,c是三角形三条边

Question

等边三角形三边平方和等于每两边乘积之和
证明：三角形ABC是等边三角形的充要条件是
a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc
这里a,b,c是三角形三条边

Answer 1

证明：a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc
则:2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc)=0
可变形为:(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bd+c^2)+(c^2-2ca+2a^2)=0
即:(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
三项均为非负数,即:a-b=0,b-c=0,c-a=0
即同时有:a=b,b=c,c=a,就是说三边长都相等,是等边三角形
所以,三角形ABC是等边三角形的充要条件是a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc