如何求平方和?1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n-1)/61^3+2^3+……+n^3=（n（n+1)/2)^2如何得出的啊?

Question

如何求平方和?
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n-1)/6
1^3+2^3+……+n^3=（n（n+1)/2)^2
如何得出的啊?

Answer 1

从前见过一个方法：
(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
可得：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
我们从1到n类此相加,并消去中间项
(n+1)^3-1
=3(1^2+2^2+……+n^2)
+3(1+2+3……+n)
+(1+1+……+1)
由于1+2+3……+n=n(n+1)/2
1+1+……+1=n
带入上式,可得
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n-1)/6
同理对另一个式子用相似的方法,这个方法可以求出任意次幂的各项和