已知在（x+3x）n（其中n＜15）的展开式中：（1）求二项式展开式中各项系数之和；（2）若展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值；（3）在（2）的条件下写出它展

Question

已知在（√(x)+

3

x

）ⁿ（其中n＜15）的展开式中：
（1）求二项式展开式中各项系数之和；
（2）若展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值；
（3）在（2）的条件下写出它展开式中的有理项．

Answer 1

（1）∵二项展开式中各项的系数就是各项的二项式系数

C

0 n

，

C

1 n

，

C

2 n

，…，

C

n n

，
∴各项系数之和为

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

＝2n
（2）(√(x)+

3

x

)n（其中n＜15）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是

C

8 n

，

C

9 n

，

C

10 n

．
依题意得

C

8 n

+

C

10 n

＝2

C

9 n

，
写成：(n!)/(8!(n−8)!)+(n!)/(10!(n−10)!)＝2•(n!)/(9!(n−9)!)，
化简得90+（n-9）（n-8）=2•10（n-8），
即：n²-37n+322=0，解得n=14或n=23，
∵n＜15，∴n=14．
（2）展开式的通项Tr+1＝

C

r 14

x(14−r)/(2)x(r)/(3)＝

C

r 14

x(42−r)/(6)
∴展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，又0≤r≤14，
∴展开式中的有理项共3项是：r＝0，T