在二项式（x-2x）12的展开式中．（Ⅰ）求展开式中含x3项的系数；（Ⅱ）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．

Question

在二项式（√(x)-(2)/(x)）¹²的展开式中．
（Ⅰ）求展开式中含x³项的系数；
（Ⅱ）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．

Answer 1

（I）展开式中第r+1项是
Tr+1＝

C

r 12

x(12−r)/(2)(−(2)/(x))r＝(−2)r

C

r 12

x6−(3)/(2)r，…（3分）
令6−(3)/(2)r＝3，
解得r=2；…（4分）
∴展开式中含x³项的系数为(−2)2

C

2 12

＝264；…（6分）
（II）∵第3k项的二项式系数为

C

3k−1 12

，
第k+2项的二项式系数为

C

k+1 12

；
∴

C

3k−1 12

＝

C

k+1 12

，…（9分）
∴3k-1=k+1，或3k-1+k+1=12；
解得k=1，或 k=3．…（12分）