己知（x+2x2）n的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等．（I）求该展开式中所有有理项的项数；（II）求该展开式中系数最大的项．

Question

己知（√(x)+(2)/(x2)）ⁿ的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等．
（I ）求该展开式中所有有理项的项数；
（II）求该展开式中系数最大的项．

Answer 1

（Ⅰ）∵（√(x)+(2)/(x2)）ⁿ的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等∴C_n⁴=C_n⁶，
∴n=10，
∴（√(x)+(2)/(x2)）¹⁰的通项为T_r+1=2^rC₁₀^rx 5-(5r)/(2)，
∵5-(5)/(2)r=5（1-(1)/(2)r），
分别令r=0，2，4，6，8，10，
∴展开式中所有有理项的项数第1，3，5，7，9，11项
（Ⅱ）二项式共有11项，最中间一项的系数最大，即为第6项
即为2⁶C₁₀⁶x^-10=13440x^-10