已知在(3x-123x)n的展开式中，第6项为常数项．（Ⅰ）求含x2的项的系数；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．

Question

已知在(

3

x

-(1)/(23x))n的展开式中，第6项为常数项．
（Ⅰ）求含x²的项的系数；
（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．

Answer 1

（Ⅰ）由通项公式得Tr+1=

C

r n

•(

3

x

)n-r•(-(1)/(23x))r=

C

r n

•(-(1)/(2))r•x(n-2r)/(3)，
因为第6项为常数项，所以r=5时，有(n-2r)/(3)=0，解得n=10，
令(n-2r)/(3)=2，得r=(1)/(2)(n-6)=2，故所求含x²的项的系数为

C

2 10

•(-(1)/(2))2=(45)/(4)．
（Ⅱ）根据通项公式，由题意得

(10-2r)/(3)∈Z

0≤r≤10

r∈Z

，令(10-2r)/(3)=k(k∈Z)，则10-2r=3k，即r=5-(3k)/(2)，
因为r∈Z，所以k应为偶数，所以k可以取2，0，-2，即r可以取2，5，8，
所以第3项，第6项，第9项为有理数，
它们分别为

C

2 10

•(-(1)/(2))2x2，

C

5 10

(-(1)/(2))5，

C

8 10

(-(1)/(2))8x-2．