关于二项式（x-1）1999有下列四个命题，①该二项展开中非常数项的系数和为1②该二项展开式中系数最大的项是第1000项③该二项展开式中第6项为C61999X1993④当x=2000时，（x-

Question

关于二项式（x-1）¹⁹⁹⁹有下列四个命题，
①该二项展开中非常数项的系数和为1
②该二项展开式中系数最大的项是第1000项
③该二项展开式中第6项为C

6

1999

X¹⁹⁹³
④当x=2000时，（x-1）¹⁹⁹⁹除以2000的余数是1999，
其中正确的序号是___．

Answer 1

关于二项式（x-1）¹⁹⁹⁹有下列四个命题，
①令x=1，可得该二项展开中非常数项的系数和=（1-1）¹⁹⁹⁹-（-1）¹⁹⁹⁹=1，正确；
②令通项公式T_r+1=

∁

r 1999

x1999-r(-1)r，则T₁₀₀₀=-

∁

999 1999

x1000，T₁₀₀₁=

∁

1000 1999

x999，可知：该二项展开式中二项式系数最大的项是第1000项与第1001项，而该二项展开式中系数最大的项是第1001项，因此不正确．
③该二项展开式中第6项为

∁

5 1999

x1994(-1)5，而不是

∁

6 1999

X¹⁹⁹³，因此不正确；
④当x=2000时，（x-1）¹⁹⁹⁹=2000¹⁹⁹⁹-

∁

1 1999

20001998+…-

∁

1997 1999

20002+

∁

1998 1999

2000-1=2000M+1999×2000-1
=2000M+1998×2000+1999（其中M为正整数），∴当x=2000时，（x-1）¹⁹⁹⁹除以2000的余数是1999，正确．
其中正确的序号是①④．
故答案为：①④．