若[根号X＋2倍4次根号X分之1]的N次方展开式中的前3项系数成等差数列,求展开式中含X的一次项

Question

若[根号X＋2倍4次根号X分之1]的N次方展开式中的前3项系数成等差数列,求展开式中含X的一次项

Answer 1

解析：
由题意展开式通项为：
T(r+1)=C(n,r)* (根号x)的n-r次幂*(2分之1*4次根号X分之1)的r次幂
=(2分之1)的r次幂*C(n,r)*x的2分之n - 4分之3r 次幂
那么可知前3项的系数分别为：
(2分之1)的0次幂*C(n,0)=1,(2分之1)的1次幂*C(n,1)=2分之n,
(2分之1)的2次幂*C(n,2)=8分之n(n-1)
由于展开式中的前3项系数成等差数列,所以：
1+ 8分之n(n-1)=2×(2分之n)
即8+n²-n=8n
n²-9n+8=0
(n-8)(n-1)=0
解得n=8或n=1（不合题意,舍去）
所以展开式通项为：
T(r+1)=(2分之1)的r次幂*C(8,r)*x的4 - 4分之3r 次幂
令4 - 4分之3r=1即4分之3r=3,得：r=4
所以展开式中含X的一次项的项为第5项：
T5=(2分之1)的4次幂*C(8,4)*x
=16分之1*70*x
=8分之35x