不等式变换当中扩大缩小范围原因我知道是在变换中不等价,但是不等价在什么地方,比如说y=x+（1-x^2）^(1/2)当中求y的取值范围,我同学将其中的一次项x移到等式左边之后利用（1-x^2）^(1/2)的取

Question

不等式变换当中扩大缩小范围原因
我知道是在变换中不等价,但是不等价在什么地方,比如说y=x+（1-x^2）^(1/2)当中求y的取值范围,我同学将其中的一次项x移到等式左边之后利用（1-x^2）^(1/2)的取值确定y-x的取值,之后又利用x的取值确定y的取值.我知道一定不对,但是问什么他会出现 扩大缩小范围,本质是什么.不要说不能求出一个未知数的范围,为何不能求出一个未知数范围?

Answer 1

你的同学错误症结：y-x=（1-x²)^1/2,
0≤ （1-x²)^1/2≤1 -1≤x≤1,
意味着0≤ y-x≤1,
但不表明：当x取得最小时y就取得最大,x取得最大时y取得最小.
可利用三角函数变换,令x=sinα -π/2≤α≤π/2
则y=sinα+cosα = √2 sin（α+ π/4）
∵ -π/2≤α≤π/2
∴-π/4≤α+π/4≤3π/4
∴-1≤y≤√2