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一道简单的高等数学不等式证明题证明不等式1+xlnx(x+跟号[1+x^2])>根号[1+x^2](x>0)
题目详情
一道简单的高等数学不等式证明题
证明不等式 1+xlnx(x+跟号[1+x^2])>根号[1+x^2] (x>0)
证明不等式 1+xlnx(x+跟号[1+x^2])>根号[1+x^2] (x>0)
▼优质解答
答案和解析
设f(t)=1+tln[t+√(1+t^2)]-√(1+t^2),
则易求得
f'(t)=1+ln[t+√(1+t^2)],
f"(t)=[1+1/√(1+t^2)]/[t+√(1+t)].
显然,当t>0时,有f"(t)>0,
故f'(t)为单调递增函数,
∴f'(t)>f'(0)=1>0,
故f(t)也为单调递增函数.
从而,x>0时,有f(x)>f(0)=0,
∴1+xln[x+√(1+x^2)]-√(1+x^2)>0,
即1+xln[x+√(1+x^2)]>√(1+x^2).
故原不等式得证.
则易求得
f'(t)=1+ln[t+√(1+t^2)],
f"(t)=[1+1/√(1+t^2)]/[t+√(1+t)].
显然,当t>0时,有f"(t)>0,
故f'(t)为单调递增函数,
∴f'(t)>f'(0)=1>0,
故f(t)也为单调递增函数.
从而,x>0时,有f(x)>f(0)=0,
∴1+xln[x+√(1+x^2)]-√(1+x^2)>0,
即1+xln[x+√(1+x^2)]>√(1+x^2).
故原不等式得证.
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