证明题x≠0时f(x)=x²sin1/x；x=0时,f（x）=0.证明f（x)在x=0处可导.

Question

证明题
x≠0时f(x)=x²sin1/x ；x=0时,f（x）=0.证明f（x)在x=0处可导.

Answer 1

可导必定连续,所以要先证明连续.
x→0时,因为sin1/x有界,x²→0,所以x²sin1/x→0,lim（x→0) f(x)=0=f(0),所以f（x)在x=0处连续.
而f ′＋(0)=lim（x→0+)( f(x)－f(0))/(x－0)=lim（x→0+)xsin1/x=0
f ′﹣(0)=lim（x→0﹣)( f(x)－f(0))/(x－0)=lim（x→0﹣)xsin1/x=0
所以f ′﹣(0)=f ′＋(0),所以f ′(0)存在,因此f（x)在x=0处可导
鉴定完毕