A、B、C是三角形的三个内角,求证不等式sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≥1/8.题目中的不等号方向挱错了，订正如下：A、B、C是三角形的三个内角，求证不等式sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≤1/8.

Question

A、B、C是三角形的三个内角,求证不等式sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≥1/8.
题目中的不等号方向挱错了，订正如下：
A、B、C是三角形的三个内角，求证不等式sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≤1/8.

Answer 1

sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)
=sin(A/2)*sin(B/2)*sin[(π-A-B)/2]
=sin(A/2)*sin(B/2)*cos[(A+B)/2] ……利用积化和差可得下式
=-1/2*{cos[(A+B)/2]-cos[(A-B)/2]}*cos[(A+B)/2]
=-1/2*{cos[(A+B)/2]}^2+1/2*cos[(A-B)/2]*cos[(A+B)/2]
上式可以看成是关于cos[(A+B)/2]的二次函数,
显然当cos[(A+B)/2]=1/2*cos[(A-B)/2]=1/2（此时cos[(A-B)/2]=1)时,
sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)有最大值 1/8 *{cos[(A-B)/2]}^2=1/8
所以sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)<=1/8