设四元线性齐次方程组（Ⅰ）为x1+x2＝0x2−x4＝0，又已知某线性齐次方程组（Ⅱ）的通解为k1（0，1，1，0）+k2（-1，2，2，1）（1）求线性方程组（Ⅰ）的基础解析．（2）问线性方程组（Ⅰ）

Question

设四元线性齐次方程组（Ⅰ）为 

x1+x2＝0

x2−x4＝0

，又已知某线性齐次方程组（Ⅱ）的通解为k₁（0，1，1，0）+k₂（-1，2，2，1）
（1）求线性方程组（Ⅰ）的基础解析．
（2）问线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解．若没有，则说明理由．

Answer 1

（1）
方程组（Ⅰ）的系数矩阵为：

1	1	0	0
0	1	0	−1

，
可以看出矩阵的秩为2，
所以基础解系的个数为2个，
分别取：（x₁，x₂）（x₂，x₄）为（-1，1）（1，-1），
得基础解系为：（-1，1，0，0）^T和（0，1，0，-1）^T．

（2）
若存在非零公共解，则（Ⅰ）（Ⅱ）方程组的通解线性相关，
线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）通解组成矩阵为：

−1 1 0	0 1  0	0 1  1	−1  2   2
0	−1	0	1

→

作业帮用户 2017-10-14

问题解析

利用基础解析的定理可以求出（1），联立两个方程组的通解，计算秩是否为4
利用ⅠⅡ方程的解组成的矩阵，通过判断它们是否线性相关来判断是否有非零公共解．

名师点评

本题考点：

齐次方程组解的判别定理；基础解系、通解及解空间的概念．

考点点评：

本题主要考查齐次方程组有解的判断以及基础解系的计算，属于基础题．

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