什么类型（或具有什么特征）的方程可用常数换元法来求其解?要求200到300字之间，可以用一个用常数换元法解方程的例子说明~（急用）

Question

什么类型（或具有什么特征）的方程可用常数换元法来求其解?
要求200到300字之间，可以用一个用常数换元法解方程的例子说明~（急用）

Answer 1

例谈“常值换元”法解题
李晓渊
所谓“常值换元”,就是用字母代替题目中的已知数值.对某些题目,利用这种“常值换元”法来求解,往往能化繁为简、巧妙获解.
一、利用“常值换元”法化简与求值
例1.计算 .
简析：因题中涉及的某些已知数较大,直接计算不仅运算量大,而且书写起来也很麻烦.为此,令 ,于是原式 ,分子和分母都很容易分解因式,约去因式 后,原式 .
二、利用“常值换元”法分解因式
例2.分解因式 .
简析：本题常规解法是将原式乘开并合并整理成x的三次式后再分解,这样做反而把原有的规律给破坏,分解起来会感困难,此题有何特点呢?,后者比前者多1；而6、7、8,后者也比前者多1.若将常数6反用字母（a+1）来代替,则原式为 ,相减的两式结构完全一样,乘开后即为 ,这样就可提出公因式 ,继而原式可分解为 .
例3.分解因式 .
简析：对高次多项式分解因式,常常是先找有理根,再利用因式定理来分解,或直接进行分组分解等.但此题中,它既无有理根,也一时不知如何分组好,怎么办?再次观察原式,发现系数中有两个1999、一个1998,若置 ,则原式 ,一眼便知,此式就是 ,从而原式可分解为 .
三、利用“常值换元”法解方程
例4.解方程 .
简析：这是一个关于x的一元三次方程,若采取因式分解法求解,一时真不知道如何分解；若利用三次方程的求根公式来求解,显然十分繁琐,况且考纲也没有要求中学生掌握三次方程的求根公式.怎么办?我们仔细观察原方程的系数,发现 与2累次出现,如果把 用a表示,则原方程就是 =0,由于x不为0,此方程可整理成关于a的一元二次方程：.利用二次方程求根公式不难解得 ,于是有 或 ,从而可求出原方程的根为 .
注：①将一个高次方程中累次出现的系数 与k分别用 来表示,再转化为解关于a的一元二次方程,这种“反客为主”的求解法,体现了化归的数学思想,也说明了常量与变量的辩证统一的关系,同学们要细心领会并掌握它.
②仿例,解方程 .
四、利用“常值换元”法证明不等式
例5.求证：.
简析：可证 ,由于左边是关于幂的分式,运算起来很困难,当我们把 用字母a代换后,,运算起来很容易,即为 ,显然其结果小于0,故原不等式成立.（证明略）