一个关于定积分的悖论!是这样的：积分区间是0到π（圆周率）,积分函数是1-(sinθ)^3,我用定积分换元法做：当θ＝0时,t=1,当θ=π（圆周率）时,t还是等于1,那不是这个定积分变成了积分区间为1

Question

一个关于定积分的悖论!
是这样的：积分区间是0到π（圆周率）,积分函数是1-(sinθ)^3,我用定积分换元法做：
当θ＝0时,t=1,当θ=π（圆周率）时,t还是等于1,那不是这个定积分变成了积分区间为1到1,不是0了吗?可答案却不是0.郁闷.

Answer 1

把积分区间[0,π]分成[0,π/2]和[π/2,π]两个区间,在这两个区间上求积分,再把结果相加就是最终答案.你的错误在于不知道换元法积分的前提：换元后必须保证换元式在积分区间上是单调的!