已知函数f（x）=ex+tx（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当t=-e时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，求实数t的取值范围．

Question

已知函数f（x）=e^x+tx（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当t=-e时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当t=-e时，f（x）=e^x-ex，f'（x）=e^x-e．
由f'（x）=e^x-e＞0，解得x＞1；f'（x）=e^x-e＜0，解得x＜1．
∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）；单调递减区间是（-∞，1）．  
（Ⅱ）依题意：对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，
即e^x+tx＞0恒成立，即t＞-(ex)/(x)在x∈（0，2]上恒成立．
令g(x)=-(ex)/(x)，∴g′(x)=((1-x)ex)/(x2)．
当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜2时，g'（x）＜0．
∴函数g（x）在（0，1）上单调递增；在（1，2）上单调递减．
所以函数g（x）在x=1处取得极大值g（1）=-e，即为在x∈（0，2]上的最大值．
∴实数t的取值范围是（-e，+∞）．       
所以对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立的实数t的取值范围是（-e，+∞）．