已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意n∈N*都有3an=2Sn+3.(1)求数列{an}的通项公式；（2）设bn=an×log3(an)以三为底an的对数,求数列{bn}前n项的和Tn的表达式；（3）当n>1时,求证：an>(2+n)×2n-1[2的（n

Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意n∈N*都有3an=2Sn+3.
(1)求数列{an}的通项公式；（2）设bn=an×log3(an)【以三为底an的对数】,求数列{bn}前n项的和Tn的表达式；（3）当n>1时,求证：an>(2+n)×2n-1[2的（n-1）次方

Answer 1

当=1时,1=3,
当》=2时有3（Sn-Sn-1)=2Sn+3,
整理得：Sn+3/2=3(Sn-1+3/2)
所以Sn=3/2(3^n--1)
可以得到an=3^n
bn=nx3^n
利用错位相减法可以得到Tn=3/4[(2n--1)x3^n+1]
第3问就容易多了：即：an=3^n>(2+n)x2^(n-1)
整理得到：（3/2)^(n--1)>(n+2)/3
由于有：（3/2)^(n--1）>(n--1)x3/2 (说明指数增长比直线快）
所以只需要证明(n--1)x3/2 >(n+2)/3
明显当n>2时(n--1)x3/2--(n+2)/3=(7n--13)/6>>0
因此3^n>(2+n)x2^(n-1)成立.得证