已知函数f（x）=lnx-ax2-a+2（a∈R，a为常数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（-2，0]，不等式mea+f（x0）>0（其中e为自然对数的底数）都成立，求实

Question

已知函数f（x）=lnx-ax²-a+2（a∈R，a为常数）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若存在x₀∈（0，1]，使得对任意的a∈（-2，0]，不等式me^a+f（x₀）>0（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=(1)/(x)-2ax=(1-2ax2)/(x)，
当a≤0时，f′（x）≥0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当a>0时，由f′（x）≥0，且x>0时，解得0<x≤√((1)/(2a))，
∴函数f（x）在区间(0，√((1)/(2a))]上单调递增，在区间[√((1)/(2a))，+∞)上单调递减；
（2）由（1）知，当a∈（-2，0]时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，
∴x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）=2-2a，
对任意的a∈（-2，0]，都存在x₀∈（0，1]，不等式me^a+f（x₀）>0都成立，
等价于对任意的a∈（-2，0]，不等式me^a+f（x₀）>0都成立，
即对任意的a∈（-2，0]，不等式me^a+2-2a>0都成立，
不等式me^a+2-2a>0可化为m>(2a-2)/(ea)，
记g(a)=(2a-2)/(ea)（a∈（-2，0]），则g′（a）=(2ea-(2a-2)ea)/(e2a)=(4-2a)/(ea)>0，
∴g（a）>g（-2）=-6e²，
∴实数m的取值范围是[-6e²，+∞）．