已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1

Question

已知关于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当抛物线y=kx²+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y₁），Q（1，y₂）是此抛物线上的两点，且y₁>y₂，请结合函数图象确定实数a的取值范围；
（3）已知抛物线y=kx²+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．

Answer 1

（1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=-2，方程有实数根，
②当k≠0时，∵△=（2k+1）²-4k×2=（2k-1）²≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2） 令y=0，则kx²+（2k+1）x+2=0，
解关于x的一元二次方程，得x₁=-2，x₂=-(1)/(k)，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴k=1．
∴该抛物线解析式为y=x²+3x+2，

由图象得到：当y₁>y₂时，a>1或a<-4．

（3）依题意得kx²+（2k+1）x+2-y=0恒成立，即k（x²+2x）+x-y+2=0恒成立，
则

x2+2x=0

x-y+2=0

，
解得

x=0

y=2

或

x=-2

y=0

．
所以该抛物线恒过定点（0，2）、（-2，0）．