如图，已知抛物线y=x2-2tx+t2-2的顶点A在第四象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D，并交抛物线与点P．（1）若点C的横坐标为1，且是线段AB的中

Question

如图，已知抛物线y=x²-2tx+t²-2的顶点A在第四象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D，并交抛物线与点P．

（1）若点C的横坐标为1，且是线段AB的中点，求点P的坐标；
（2）若直线AP交y轴负半轴于点E，且AC=CP，求四边形OEPD的面积S关于t的函数解析式，并写出定义域；
（3）在（2）的条件下，当△ADE的面积等于2S时，求t的值．

Answer 1

（1）∵抛物线y=x²-2tx+t²-2=（x-t）²-2，
∴顶点A（t，-2），
∵点C的横坐标为1，且是线段AB的中点，
∴(t)/(2)=1，
∴t=2，
∴A（2，-2），
∴抛物线的解析式为y=（x-2）²-2=x²-4x+2，
当x=1时，y=1-4+2=-1，
∴P（1，-1）；

（2）当AC=CP时，∠EAB=45°，
∴BE=AB=t，即E（0，-2+t），
∴直线AE的解析式为y=-x+t-2，
由

y=-x+t-2

y=x2-2tx+t2-2

得P（t-1，-1），
∴S=(1)/(2)OD×（OE+DP）=(1)/(2)（t-1）×（-t+2+1），
∴S=-(1)/(2)t²-2t+(3)/(2)（1<t<2）；

（3）∵S_△ADE=2S，
∴(1)/(2)PD•t=2（-(1)/(2)t²-2t+(3)/(2)），即(1)/(2)t=t²+4t-3，
解得t=2（舍去）或t=(3)/(2)．