若函数y=f(x)满足f(x+4)=f(x)且f(x)=f(-x),当x∈[2,3]时,f(x)=x-1,在y=f（x）图像上有两点A.B,他们纵坐标相等,横坐标都在区间[1,3]上,定点C坐标为（0,a）（其中2＜a＜3）.求：（1）x∈[1,3]时f（x）的解析式

Question

若函数y=f(x)满足f(x+4)=f(x)且f(x)=f(-x),当x∈[2,3]时,f(x)=x-1,在y=f（x）图像上有两点A.B,他们纵坐标相等,横坐标都在区间[1,3]上,定点C坐标为（0,a）（其中2＜a＜3）.求：（1）x∈[1,3]时f（x）的解析式；（2）Smax△ABC.

Answer 1

(1)
f(x)=f(-x),所以f(x)是偶函数,当x∈[-3,-2]时,f(x)=-x-1;
又因为f(x)=f(x+4),所以当当x∈[-3,-2]时,f(x+4)=-x-1,令y=x+4,得f(y)=-y+3,此时,y∈[1,2];
故x∈[1,2]时,f(x)=-x+3;
故x∈[2,3]时,f(x)=x-1;
(注：事实上由f(x+4)=f(x)可以直接知道f(x)关于x=2对称,然后就可以直接得到答案)
（2）
由之前的分析知道A、B是关于x=2对称的两点,假设其纵坐标都是b,则b∈[1,2];
A、B和点（2,1）构成一个等腰直角三角形,|AB|=2(b-1)
S△ABC=|AB|*h/2=2（b-1）*(a-b)/2=（b-1）*(a-b);
令f(b)=-b*b+(a+1)b-a,其中b∈[1,2];2＜a＜3
△=（a+1）^2-4a=(a-1)^2>0
函数最大值时b=（a+1）/2∈[1.5,2];
代入函数f(b）得到S△ABC=（a+1）^2/4-a,易知,在2＜a＜3时0.25(注：事实上AB两点一直在点C以下,所以一定是C点在最上的时候三角形面积最大,取a为3,然后求取1

追问：

为什么当x∈[-3,-2]时，f(x+4)=-x-1,令y=x+4,得f(y)=-y+3,此时，y∈[1,2]，我不是太明白，能详细一点么？

追答：

当x∈[-3,-2]时候，-x∈[2,3]; 当x∈[2,3]时,f(x)=x-1，所以x∈[-3,-2]时，f(-x)=-x-1 而f(x)=f(-x)，故x∈[-3,-2]时，f(x)=-x-1。 由f(x+4)=f(x)，令y=x-4代人前式（注意x、y都是未知量，没有分别，可以任意代换，实际上就是用x-4替换x，这没有区别）,则有f(x-4)=f(x); x∈[1,2]时，x-4∈[-3,-2]，而x∈[-3,-2]时候的函数表达式已经知道，把x-4代入表达式得到： f(x-4)=-(x-4)-1=-x+3 因为f(x-4)=f(x)，所以f(x)=-x+3（此时还是x∈[1,2]哦）

作业帮用户 2017-09-29