（2014•海拉尔区模拟）如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上

Question

（2014•海拉尔区模拟）如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax²+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，
∴y=2x-6，
令y=0，解得：x=3，
∴B的坐标是（3，0）．
∵A为顶点，
∴设抛物线的解析为y=a（x-1）²-4，
把B（3，0）代入得：4a-4=0，
解得a=1，
∴y=（x-1）²-4=x²-2x-3．

（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=-x．
设P（m，-m），则-m=m²-2m-3，解得m=(1−√(13))/(2)（m=(1+√(13))/(2)＞0，舍），
∴P（(1−√(13))/(2)，(√(13)−1)/(2)）．

（3）①如图，当∠Q₁AB=90°时，△DAQ₁∽△DOB，
∴(AD)/(OD)=(DQ1)/(DB)，即(√(5))/(6)=(DQ1)/(3√(5))，∴DQ₁=(5)/(2)，
∴OQ₁=(7)/(2)，即Q₁（0，−(7)/(2)）；
②如图，当∠Q₂BA=90°时，△BOQ₂∽△DOB，
∴(OB)/(OD)=(OQ2)/(OB)，即(3)/(6)=(OQ2)/(3)，
∴OQ₂=(3)/(2)，即Q₂（0，(3)/(2)）；
③如图，当∠AQ₃B=90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ₃∽△Q₃EA，
∴(OB)/(Q3E)=(OQ3)/(AE)，即(3)/(4−OQ3)=(OQ3)/(1)，
∴OQ₃²-4OQ₃+3=0，∴OQ₃=1或3，
即Q₃（0，-1），Q₄（0，-3）．
综上，Q点坐标为（0，−(7)/(2)）或（0，(3)/(2)）或（0，-1）或（0，-3）．