如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B在x轴的负半轴上，△ABO的面积是3．（1）求点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）在线段OB的垂直平分线m上是否存在点M，使△AOM得

Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B在x轴的负半轴上，△ABO的面积是3．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）在线段OB的垂直平分线m上是否存在点M，使△AOM得周长最短？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（4）过点A作直线AN与坐标轴交于点N，且使AN=OA，求△ABN的面积．

Answer 1

（1）设B（a，0），作AE⊥x轴于点E，作AH⊥y轴于点H，
∴BO=-a，
∵A（2，3），
∴AE=3，AH=2，
∴(−3a)/(2)=3，
∴a=-2，
∴B（-2，0）
（2）设AB的解析式为：y=kx+b，由题意，得

0＝−2k+b

3＝2k+b

，解得：

k＝(3)/(4)

b＝(3)/(2)

，
∴抛物线的解析式为：y=(3)/(4)x+(3)/(2)．
（3）存在点M，M（-1，(3)/(4)）．
（4）如图，当AN交x轴于点N时，
∴△AEO≌△AEN，
∴OE=EN=2，
∴BN=6，
∴S_△ABN=(6×3)/(2)=9，
当AN′交y轴于点N′时，可得OH=HN′=3，
∴ON′=6，
在直线AB上，当x=0时，y=(3)/(2)，
∴OG=(3)/(2)，
∴GN′=(9)/(2)，
∴S_△ABN′=((9)/(2)×2)/(2)+((9)/(2)×2)/(2)=9，
∴△ABN的面积为：9