已知函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R），且集合A={x|x=f（x）}，B={x|x=f[f（x）]}．（1）求证：A⊆B；（2）当A={-1，3}时，用列举法表示B．

Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R），且集合A={x|x=f（x）}，B={x|x=f[f（x）]}．
（1）求证：A⊆B；
（2）当A={-1，3}时，用列举法表示B．

Answer 1

（1）证明：若x∈A，则x=f（x）成立，
则f[f（x）]=f（x）=x必成立，即x∈B，
故A⊆B；
（2）∵A={x|f（x）=x}={x|x²+ax+b=x}={x|x²+（a-1）x+b=0}={-1，3}
∴-1，3是方程x²+（a-1）x+b=0的根
∴

1−a＝2

b＝−3

，即a=-1，b=-3，
∴f（x）=x²-x-3
∴B={x|f[f（x）]=x}={x|f（x²-x-3）=x}={x|（x²-x-3）²-（x²-x-3）-3=x}
化简可得，（x²-x-3）²-x²=0
∴（x²-3）（x²-2x-3）=0
∴x=√(3)或x=-√(3)或x=3或x=-1
∴B={√(3)，-√(3)，-1，3}．