若三棱锥P-ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABCC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为12，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）A.4πB.8πC.16πD.32π

Question

若三棱锥P-ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABCC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为

(1)/(2)，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（　　）

A. 4π

B. 8π

C. 16π

D. 32π

Answer 1

如图，取BC中点D，连结AD、PD，
∵AB=AC，∴AD⊥BC，由因为PA⊥面ABC，∴BC⊥面PAD，
过A作AH⊥PD于D，易知AH⊥面PBC，
∴∠APD就是直线PA与平面PBC所成角，∴tan∠APD=(AD)/(AP)=(1)/(2)，
∵AD=(1)/(2)BC=(√(2))/(2)，∴PA=√(2)．
∵AB，AC，AP相互垂直，∴以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，
∴三棱锥P-ABC的外接球的半径R=(√(12+12+(√(2))2))/(2)=1，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR²=4π；
故选：A．