在△ABC中,a,b,c为三条边的长,S表示△ABC的面积,求证：a²+b²+c²≥4(根号下3)S,并说明"="成立的条件.TAT…只有能解出来就好。无论什么方法都可以，

Question

在△ABC中,a,b,c为三条边的长,S表示△ABC的面积,求证：a²+b²+c²≥4(根号下3)S,并说明"="成立的条件.
TAT…只有能解出来就好。无论什么方法都可以，

Answer 1

因为 a^2+b^2≥ 2ab ≥ 2absin(C+π/6) = √3*absinC+ab*cosC,
所以 a^2+b^2-ab*cosC≥ √3*absinC,
所以 2(a^2+b^2-ab*cosC)≥ 2√3*absinC,
也即 a^2+b^2+(a^2+b^2-2ab*cosC)≥ 4√3*(absinC/2),
所以 a^2+b^2+c^2≥ 4√3S.
由上面的分析可以看出,等号成立当且仅当
a^2+b^2＝2ab 和 2ab＝2absin(C+π/6)同时成立,
前者意味着 a=b,后者意味着 sin(C+π/6)=1,即C=π/3,此时是等边三角形.