如何求y=x+2^x的反函数?

Question

如何求y=x+2^x的反函数?

Answer 1

因为y=x+2^x在定义域内单调递增、可导
且y'=1+ln2*2^x≠0
则可以运用反函数求导公式
设h(x)是原函数的反函数
则h'(x)=1/(1+ln2*2^x)
h(x)=∫dx/(1+ln2*2^x)
令1+ln2*2^x=t x=log(2,t-1)-log(2,ln2) dx=dt/(t-1)ln2 显然t>1
h(x)=1/ln2*∫dt/t(t-1)
=1/ln2*[∫dt/(t-1)-∫dt/t]
=[ln(t-1)-lnt]/ln2+C
=log(2,t-1)-log(2,t)+C
=log(2,ln2*2^x)-log(2,1+ln2*2^x)+C
=log(2,ln2)+x-log(2,1+ln2*2^x)+C
因为原函数y(0)=1,所以反函数h(1)=0
log(2,ln2)+1-log(2,1+ln4)+C=0
C=log(2,1+ln4)-log(2,ln2)-1
所以反函数h(x)=x-log(2,1+ln2*2^x)+log(2,1+ln4)-1