在开区间内连续的函数是否一定没有最大值和最小值?为什么？

Question

在开区间内连续的函数是否一定没有最大值和最小值?
为什么？

Answer 1

如果函数f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值.
由于闭区间[a,b]上的连续函数的图线是一条连续的曲线,所以,从图形的直观形象上讲,最大值、最小值定理就是说：闭区间[a,b]上的连续曲线,必有且至少有一点达到最高,也必有且至少有一点达到最低.
另外(1)若f(x)=c（常数）的情况下,此时在[a,b]上,[f(x)]max=[f(x)]min=c
(2)f(x)的最大值可在区间内取得,也可在区间的端点处取得.因此,若f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,在(a,b)上则不一定,因为最大最小值有可能就是在端点上.（当然,在闭区间内能取得最大和最小值的话,则在开区间内也一定能取得的）