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设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(x)>0,则方程∫xaf(t)dt+∫xb1f(t)dt=0在开区间(a,b)内的根有()A.0B.1C.2D.无穷多个
题目详情
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(x)>0,则方程
f(t)dt+
dt=0在开区间(a,b)内的根有( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 无穷多个
∫ | x a |
∫ | x b |
1 |
f(t) |
A. 0
B. 1
C. 2
D. 无穷多个
▼优质解答
答案和解析
解; 设F(x)
f(t)dt
dt,则F(x)在x∈[a,b]连续,并且F(a)
dt,F(b)=
f(t)dt
而f(x)>0,x∈[a,b]
∴F(a)<0,F(b)>0
∴根据零点定理有,至少存在一点ξ∈(a,b),使得:F(ξ)=0
又F′(x)=f(x)+
>0,x∈[a,b]
∴F(x)在[a,b]单调递增
∴F(x)在(a,b)只有一个零点
即方程
f(t)dt
dt=0在(a,b)只有一个根
=∫ | x a |
+∫ | x b |
1 |
f(t) |
=∫ | a b |
1 |
f(t) |
∫ | b a |
而f(x)>0,x∈[a,b]
∴F(a)<0,F(b)>0
∴根据零点定理有,至少存在一点ξ∈(a,b),使得:F(ξ)=0
又F′(x)=f(x)+
1 |
f(x) |
∴F(x)在[a,b]单调递增
∴F(x)在(a,b)只有一个零点
即方程
∫ | x a |
+∫ | x b |
1 |
f(t) |
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