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求证sinx+x+1=0在双闭区间-π/2,π/2上仅有一个实根
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求证sinx+x+1=0在双闭区间-π/2,π/2上仅有一个实根
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答案和解析
设f(x)=sinx+x+1,则f(x)在[-π/2,π/2]上连续,f(-π/2)=-π/20,由连续函数的零点定理知sinx+x+1=0在[-π/2,π/2]上有实根.
在(-π/2,π/2)内,f′(x)=cosx+1>0,所以,f(x)在[-π/2,π/2]上单调增加,如若有零点,则只有唯一的一个.而上述讨论知零点存在,所以结论获证.
在(-π/2,π/2)内,f′(x)=cosx+1>0,所以,f(x)在[-π/2,π/2]上单调增加,如若有零点,则只有唯一的一个.而上述讨论知零点存在,所以结论获证.
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